EJERCICIO PERT-CPM

ANALISIS DE UNA RED PERT/CPM

ATLEE COMPANY.

Código de actividad	Descripción de la actividad	Predecesores inmediatos	Tiempo esperado para terminar (semanas)
A	Diseñar producto	---	6
B	Diseñar el envase	---	2
C	Ordenar y recibir los materiales para el producto	A	3
D	Ordenar y recibir los materiales para el envase	B	3
E	Fabricar el producto	C	4
F	Fabricar el envase	D	3
G	Envasar el producto	E	6
H	Prueba de mercado del producto	F	4
I	Prueba de mercado del envase	G, H	1
J	Entregar a los distribuidores	I	2

  Cálculos básicos de la programación

  Una vez elaborada la red PERT/CPM, puede concentrarse la atención en determinar la fecha               esperada de terminación para el proyecto y el programa de actividades.

Importancia de conocer la fecha de término

1.                    Competencia entre varias empresas
2.                     Si se opera en base a incentivos por fecha de término.

Si sumamos todos los tiempos esperados de las actividades de la tabla, se tiene 34 semanas como duración del proyecto.

Ruta critica

 Se calcula la duración del proyecto determinando la ruta crítica (camino crítico) para la red.

 Toda red tiene dos o más rutas, una o más de las cuales serán críticas.

 Analicemos el caso de la Sharp Company

 Las actividades A, C, E, G, I y J  forman una ruta que conecta los nodos 1, 2, 3, 4, 8, 9 y 10 de         la red.

 Las actividades B, D, F, H, I y J, forman una ruta que conecta los nodos 1, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 de la red.

 Puesto que la terminación de un proyecto requiere que se terminen todas las rutas de la red, la duración de la ruta más larga de la red es la ruta critica.

Para el caso de la Sharp Company.

La ruta ACEGIJ requiere 22 semanas (RUTA CRITICA)

La ruta BDFHIJ requiere 15 semanas.

Si se demora cualquier actividad sobre la ruta critica, se demora el proyecto completo. Por lo tanto, las actividades que se encuentran sobre la ruta critica, se les llama actividades críticas.

            ¿Cómo reducir el tiempo total del proyecto? en este caso son 22 semanas.

            Se deben reducir la duración de una o más de las actividades críticas.

            Veamos en forma general, para cualquier red:

(1)          Identificar todas las rutas de la red.

(2)          Calcular la duración de cada una de ellas.

(3)          Elegir la ruta más larga (critica).

Este procedimiento es muy poco eficiente de analizar una red

Otro método más eficiente es calcular límites de tiempo para cada actividad tiempos:

1.-       Próximos de iniciación

2.-       Lejanos de iniciación

3.-       Próximos de terminación

4.-       Lejanos de terminación

y a partir de estos datos calcular la ruta crítica.

•              Los límites de los tiempos próximos de iniciación y próximos de terminación se pueden calcular haciendo una revisión hacia adelante de la red.
•              Los limites de los tiempos lejanos de iniciación y de terminación se determinan utilizando una revisión hacia atrás en la red.

Revisión hacia delante:

Calculo de los tiempos próximos de iniciación y próximos de terminación.

Definición de terminación y notación

1.-       Tiempo próximo de iniciación:

El tiempo próximo de iniciación de una actividad es el tiempo más próximo posible en que una actividad puede comenzar, el cual se denotara por ES_ij donde i y j representan los nodos inicial y final asociados con la actividad.

2.-       Tiempo próximo de terminación:

El tiempo próximo de terminación para cada actividad, el cual se denota por EF_ij, es el tiempo próximo de iniciación más el tiempo que se requiere para completar la actividad.

Ejemplo para la actividad A de la Sharp Company.

EF₁₂ = ES₁₂ + D₁₂

En donde D₁₂ = 6, el tiempo esperado para la actividad. Si el tiempo próximo de la iniciación de la actividad A es 0, es decir, ES₁₂ = 0, entonces EF₁₂ = 0 + 6 = 6.

En la red se utiliza la siguiente clave:

•               El procedimiento normal para analizar una red consiste en comenzar en el nodo inicial suponer que se tiene un tiempo inicial de cero.

•               Se supone que todas las actividades comienzan tan pronto como es posible, es decir, tan pronto como han terminado todas las actividades precedentes asociadas.

•                 Como en nuestro caso (caso Sharp) las actividades A y B no tiene predecesoras, ES₁₂ = 0 y ES₁₅ = 0; por lo tanto, sus correspondientes tiempos de terminación son EF₁₅ = 0 + 2 = 2 y EF₁₂ = 0 + 6 = 6.

•             Una vez calculado el tiempo próximo de terminación para la actividad A, puede calcularse el tiempo próximo de iniciación de la actividad C; la actividad C no puede comenzar sino hasta que la actividad A ha sido terminada. Ídem para la actividad D.

•                    El tiempo más próximo de iniciación de la actividad C, ES₂₃, es igual al tiempo más próximo de terminación de la actividad A, que es EF₁₂ = 6.

•                  El tiempo mas próximo de terminación para la actividad C es su tiempo próximo de iniciación más su tiempo de duración, o EF₂₃ = ES₂₃ + D₂₃ = 6 + 3 = 9.

•                   Para la actividad D los tiempos próximos de iniciación y de terminación son

ES₅₆ = EF₁₅ = 2

EF₅₆ = ES₅₆ + D₅₆ = 2 + 3 =5

            Realizamos el análisis completo hacia adelante.

•  En los casos en que existen varias actividades precediendo a otra, el tiempo más próximo       de iniciación para esta actividad es igual al mayor de los tiempos próximos de terminación para todas las actividades precedentes.

 Revisión hacia atrás:

            Calculo de los tiempos lejanos de iniciación y lejanos de terminación.

            Este análisis permitirá responder preguntas como

• ¿Cuánto puede demorarse cada actividad, si es que es posible?
• ¿Qué tan tarde puede comenzarse una actividad especifica sin prolongar la duración total del proyecto?

 Definición de términos y notación

1.-       Tiempo más lejano de iniciación

El tiempo más lejano de iniciación para una actividad, LS_ij es el tiempo más lejano o más tarde en el que una actividad puede comenzar sin demorar la fecha de terminación del proyecto.

2.-       Tiempo más lejano de terminación

 El tiempo más lejano de terminación para una actividad, LF_ij es el tiempo más lejano de iniciación más el tiempo que dura la actividad D_ij

En forma simbólica, estas relaciones son: LF_ij = LS_ij + D_ij sin embargo es más apropiado LS_ij = LF_ij – D_ij.

 Para nuestro caso (caso Sharp)

•                 Para comenzar los cálculos, se comienza con el evento final (el nodo 10 en nuestro caso) y se fija el tiempo mas lejano de terminación para la ultima actividad como el tiempo total de duración calculado en la revisión hacia adelante, LF_{9 10} = 22.
•               Debido a que se requieren dos días para terminar la actividad J, el tiempo mas lejano de iniciación para la actividad J es igual al tiempo más lejano de terminación menos el tiempo de duración

LS_{9 10} = LF_{9 10} – D_{9 10}

LS_{9 10} = 22 – 2 = 20

•                  Para la actividad I, el tiempo más lejano  de terminación es 20, LF₈₉ = 20 y el tiempo mas lejano de iniciación es

LS₈₉ = LF₈₉ – D₈₉

LS₈₉ = 20 – 1 = 19

•     Si un nodo determinado tiene más de una actividad que sale de él, entonces el tiempo mas lejano de terminación para cada actividad que entra al nodo es igual al menor valor de los tiempos más lejanos de iniciación para toas las actividades que salen del nodo.

 Tiempo de holgura (flotante)

Después de que se han determinado los límites de tiempo para toda la red, puede determinarse el tiempo de holgura para cada actividad.

Se define como tiempo de holgura como la longitud de tiempo en la que puede demorarse una actividad sin ocasionar que la duración del proyecto general exceda su tiempo programado de terminación.

La cantidad de tiempo de holgura de una actividad se calcula tomando la diferencia entre sus tiempos más lejanos de iniciación y más próximos de iniciación, o entre su tiempo más lejano de terminación y el tiempo más próximo de terminación.

En forma de ecuación:

                                               F_ij = LS_ij – Es_ij

O                     F_ij = LF_ij – EF_ij

 Ejemplo

Para la actividad B

                                   F₁₅ = LF₁₅ – EF₁₅ = 9 – 2 = 7

O         F₁₅ = LS₁₅ – ES₁₅ = 7 – 0 = 7

INCERTIDUMBRE EN UNA RED PERT/CPM

Estimación de los tiempos de las actividades

•                Al aplicar PERT/CPM a proyectos de construcción y mantenimiento, es posible contar con estimaciones bastante precisas de los tiempos de las actividades ya que es probable que se disponga de datos históricos y dado que la tecnología que se utiliza es más o menos estable.
•                       En los proyectos del tipo investigación y desarrollo, en los que la tecnología cambia con rapidez y los productos no son comunes, es posible que sea difícil contar con estimaciones precisas de los tiempos de las actividades.

Con el fin de tener en cuenta la incertidumbre, las personas que desarrollaron PERT permitieron a los usuarios utilizar tres estimadores para los tiempos de cada una de las actividades:

            1.-       El tiempo más probable (tm):

                       El tiempo que se requiere para terminar la actividad bajo condiciones normales.

2.-       El tiempo pesimista (tp):

           El tiempo máximo que se necesitaría para terminar la actividad si se encontraran demoras considerables en el proyecto.

3.-       El tiempo optimista (to):

         El tiempo mínimo que se requiere para terminar la actividad si todo ocurre en forma ideal.

•                    Utilizando estas tres estimaciones, puede calcularse un tiempo esperado para la duración de una actividad de acuerdo con la siguiente formula:

Veamos que ocurre con el tiempo con el caso Sharp en el cual se proporcionan tres estimaciones de los tiempos que se requieren para terminar cada una de las actividades del proyecto.

TABLA

Código de la actividad	Tiempo optimista(to)	Tiempo mas probable(tm)	Tiempo pesimista(tp)
A	3.0	5.5	11.0
B	1.0	1.5	5.0
C	1.5	3.0	4.5
D	1.2	3.2	4.0
E	2.0	3.5	8.0
F	1.8	2.8	5.0
G	3.0	6.5	7.0
H	2.0	4.2	5.2
I	0.5	0.8	2.3
J	0.8	2.1	2.8

•                        Si utilizamos la actividad F como ejemplo, estos datos indican que se estima que la actividad “fabricar envases” requerirá entre 1.8 semanas (estimación optimista) y 5.0 semanas (estimación pesimista), siendo su estimación mas probable 2.8 semanas. El valor que sería probable que ocurriera si la actividad se repitiera varias veces en el tiempo esperado.

     Comentarios

 Apesar que en la mayoría de las aplicaciones de PERT/CPM, las actividades no se repiten un numero grande de veces; mas bien, por lo general ocurren solo una vez. te sigue siendo el mejor estimador único del tiempo que se requiere para una actividad y es el que tradicionalmente se utiliza.

VARIABILIDAD EN LOS TIEMPOS DE LAS ACTIVIDADES

Si aplicamos la formula para te a las tres estimaciones para cada actividad de la tabla anterior, los te resultantes son iguales a los valores de “tiempo esperado de terminación”, que vimos al principio  en el caso Sharp.

Código de actividad	Tiempo esperado para terminar (semanas)
A	6
B	2
C	3
D	3
E	4
F	3
G	6
H	4
I	1
J	2

•                    Antes de continuar debemos respondernos algunas interrogantes

¿Qué se gana al hacer tres estimaciones?

¿Por qué no simplemente estimar los valores esperados y hacer los cálculos de PERT/CPM con base en éstos?

La respuesta es:

•              Se necesita saber qué tan confiables son las estimaciones de los tiempos esperados.
•              Lo cual se puede hacer teniendo las tres estimaciones.
•              Si el tiempo requerido para terminar una actividad es muy grande, entonces tendremos  menos confianza en el tiempo esperado que si el intervalo fuera menor. Por ejemplo: si las tres estimaciones para la actividad “fabricar el producto” fueran 2, 3 y 4 en vez de 1.8, 2.8 y 5.0 en ambos casos el tiempo promedio sería 3.0 días; pero en el primer caso tendríamos más confianza en que estas cifras modificadas fueran más precisas puesto que tiene menor variabilidad. Un intervalo amplio de las estimaciones representa una mayor incertidumbre y, por ello, menor confianza en el tiempo esperado que se calcula.
•                      A menor confianza, la probabilidad de terminar el proyecto hacia una fecha dada se reduce.
•                La ventaja de tener tres estimaciones de tiempos es que puede calcularse la dispersión de los tiempos de las actividades y puede utilizarse esta información para evaluar la incertidumbre de que el proyecto se termine de acuerdo con el programa.
•                    Se utiliza la varianza como medida para describir la dispersión o variación de las estimaciones de los tiempos de las actividades.

      La formula de la varianza es:

•                     Si la aplicamos al caso Sharp se tiene:

Código de la actividad	Varianza st2
A	1.78
B	0.44
C	0.56
D	0.22
E	1.00
F	0.28
G	0.44
H	0.28
I	0.09
J	0.11

•                A partir de estos datos, se tiene, que la actividad A tiene un mayor grado de incertidumbre que la J. (1.78 comprada con 0.11).

Variabilidad en la fecha de terminación del proyecto.

•                    Al calcular la ruta critica se utilizaron los tiempos esperados de duración para los tiempos de las actividades; lo que se obtuvo fue una duración esperada para el proyecto.
•                    Como es probable que cada actividad varíe en duración en vez de ser fija. El tiempo de terminación del proyecto será variable, y en particular si existen variaciones considerables en las actividades de la ruta critica.
•                 Es “probable” que el tiempo de duración del proyecto varíe positivamente como negativamente.
•                      La influencia en el tiempo de duración del proyecto no solo es de las actividades de la ruta crítica, sino que se puede generar otra ruta crítica debido a la variabilidad de las actividades.
•               Puesto que la varianza de una actividad da una medida de la variación en la incertidumbre, puede utilizarse para calcular la variación total en el tiempo esperado del término del proyecto.
•                        Al calcular el tiempo esperado de terminación del proyecto, se toman las varianzas (s_t²), de las actividades que forman la ruta  critica. Al igual que con una calcular la varianza del tiempo de terminación del proyecto (s_t²) simplemente se suman las varianzas (s_t²) de las actividades que forman la ruta critica.

•  Caso Sharp: recordemos que la ruta crítica era la que incluía las actividades A, C, E, G, I y J, con un tiempo esperado de terminación de 22 semanas.
•   La varianza del proyecto es:

s² = st_A² + st_C² + st_E² + st_G² + st_I² + st_J²

s² = 1.78 + 0.56 + 1.00 + 0.44 + 0.09 + 0.11

s² = 3.98 semanas

•                 Sabemos de la estadística básica que la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la varianza ; por tanto, la desviación estándar para la terminación del proyecto es

s = (s²)^1/2 = (3.98)^1/2 @ 2 semanas

•                   En estadística, se sabe que los tiempos de terminación de un proyecto no están descritos por una distribución beta sino que siguen una distribución aproximadamente normal o en forma de campana.
•                (En el desarrollo del PERT se utilizaron una distribución beta para describir las variaciones en los tiempos de actividades)
•                        Si hacemos una grafica se tiene.

•                        Utilizando la distribución normal podemos hacer planteamientos de probabilidades con respecto a fecha de término del proyecto; dada una fecha específica de terminación, puede calcularse la probabilidad de que el proyecto se termine en esa fecha o antes.
•                      Ejemplo se desea saber cuál es la probabilidad de que el proyecto termine antes de 6 meses (26 semanas).

Primero

            Convertir 26 semanas a un valor de Z. (X = 26, m = 22 y s = 2)

Segundo

Con el valor Z = 2 y una tabla de distribución normal, se encuentra que la probabilidad asociada es 0.9772. La probabilidad de que el proyecto se termine en 26 semanas o menos es 0.9772; por tanto, se puede tener bastante confianza en que el proyecto pueda terminarse hacia esa fecha.